Более века назад Шриниваса Рамануджан потряс математический мир своей необычайной способностью видеть в числах замечательные закономерности, которые не мог видеть никто другой. Математик-самоучка из Индии описал свои прозрения как глубоко интуитивные и духовные, и закономерности часто приходили ему в ярких снах. Эти наблюдения запечатлели потрясающую красоту и чистую возможность абстрактного мира чистой математики. В последние годы мы стали свидетелями прорывов ИИ в областях, связанных с глубокой человеческой интуицией, а в последнее время и в решении некоторых из самых сложных проблем в науке, однако до сих пор новейшие методы ИИ не помогли добиться значительных результатов в чисто математических исследованиях. .
В рамках миссии DeepMind по решению проблемы интеллекта мы исследовали потенциал машинного обучения (МО) для распознавания математических структур и шаблонов и помощи математикам в совершении открытий, которые они иначе никогда бы не открыли, — впервые продемонстрировав, что ИИ может помочь в авангарде чистой математики.
В нашей исследовательской статье, опубликованной сегодня в журнале Nature, подробно рассказывается о нашем сотрудничестве с ведущими математиками с целью применения ИИ для открытия новых идей в двух областях чистой математики: топологии и теории представлений. Вместе с профессором Джорди Уильямсоном из Сиднейского университета мы открыли новую формулу гипотезы о перестановках, которая оставалась нерешенной десятилетиями. Вместе с профессором Марком Лакенби и профессором Андрашем Юхашем из Оксфордского университета мы обнаружили неожиданную связь между различными областями математики, изучая структуру узлов. По словам ведущих математиков, рецензировавших работу, это первые значительные математические открытия, сделанные с помощью машинного обучения. Мы также публикуем полные сопутствующие статьи на arXiv для каждого результата, который будет отправлен в соответствующие математические журналы (статья о перестановках; статья об узлах). На этих примерах мы предлагаем модель того, как эти инструменты могут использоваться другими математиками для достижения новых результатов.
Двумя фундаментальными объектами, которые мы исследовали, были узлы и перестановки.
В течение многих лет компьютеры использовались математиками для генерации данных, помогающих в поиске закономерностей. Этот вид исследований, известный как экспериментальная математика, привел к хорошо известным гипотезам, таким как гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера — одной из шести проблем Премии тысячелетия, самых известных открытых задач в математике (с премией в 1 миллион долларов США). прилагается к каждому). Хотя этот подход был успешным и довольно распространенным, идентификация и обнаружение закономерностей из этих данных по-прежнему полагались в основном на математиков.
Нахождение закономерностей стало еще более важным в чистой математике, потому что теперь можно генерировать больше данных, чем любой математик может разумно ожидать изучить за всю жизнь. Некоторые интересующие объекты — например, объекты с тысячами измерений — также могут быть просто непостижимыми, чтобы рассуждать о них напрямую. Помня об этих ограничениях, мы полагали, что ИИ сможет расширить знания математиков совершенно по-новому.
Это похоже на то, как если бы Галилей взял в руки телескоп и смог заглянуть глубоко во вселенную данных и увидеть то, чего раньше не замечал.
Маркус Дю Сотуа , профессор Симони по вопросам общественного понимания науки и профессор математики Оксфордского университета
Наши результаты показывают, что машинное обучение может дополнять математические исследования, чтобы направлять интуицию в отношении проблемы, обнаруживая существование гипотетических паттернов с контролируемым обучением и давая представление об этих паттернах с помощью методов атрибуции машинного обучения:
Вместе с профессором Уильямсоном мы использовали ИИ, чтобы найти новый подход к давней гипотезе в теории представлений. Вопреки почти 40-летнему прогрессу гипотеза комбинаторной инвариантности утверждает, что между определенными ориентированными графами и полиномами должна существовать связь. Используя методы машинного обучения, мы смогли обрести уверенность в том, что такая связь действительно существует, и определить, что она может быть связана со структурами, известными как сломанные двугранные интервалы и экстремальные отражения. Обладая этими знаниями, профессор Уильямсон смог разработать удивительный и красивый алгоритм, который решит гипотезу о комбинаторной инвариантности. Мы вычислительно проверили новый алгоритм на более чем 3 миллионах примеров.
Вместе с профессором Лакенби и профессором Юхашем мы исследовали узлы — один из основных объектов изучения топологии. Узлы не только говорят нам о множестве способов запутывания веревки, но также имеют удивительную связь с квантовой теорией поля и неевклидовой геометрией. Алгебра, геометрия и квантовая теория имеют уникальные точки зрения на эти объекты, и давняя загадка заключается в том, как соотносятся эти разные области: например, что геометрия узла говорит нам об алгебре? Мы обучили модель машинного обучения обнаруживать такой паттерн, и неожиданно выяснилось, что конкретная алгебраическая величина — сигнатура — напрямую связана с геометрией узла, которая ранее не была известна и не предполагалась существующей теорией. Используя методы атрибуции машинного обучения, мы помогли профессору Лакенби открыть новую величину, которую мы называем естественным наклоном, которая намекает на важный аспект структуры, который до сих пор упускали из виду. Затем вместе мы смогли доказать точную природу взаимосвязи, установив некоторые из первых связей между этими различными разделами математики.
Использование методов обучения и систем искусственного интеллекта открывает большие перспективы для выявления и обнаружения закономерностей в математике. Даже если некоторые виды паттернов по-прежнему ускользают от современного машинного обучения, мы надеемся, что наша статья в Nature вдохновит других исследователей на рассмотрение потенциала ИИ как полезного инструмента в чистой математике. Чтобы воспроизвести результаты, любой может получить доступ к нашим интерактивным блокнотам. Размышляя о невероятном уме Рамануджана, Джордж Фредерик Джеймс Темпл писал: «Большие успехи в математике были достигнуты не благодаря логике, а благодаря творческому воображению». Работая с математиками, мы с нетерпением ждем возможности увидеть, как ИИ может еще больше поднять красоту человеческой интуиции на новый уровень творчества.