Исследовать
Более века назад Шриниваса Рамануджан потряс математический мир своей необычайной способностью видеть в числах удивительные закономерности, которые никто другой не мог видеть. Математик-самоучка из Индии описывал свои идеи как глубоко интуитивные и духовные, а закономерности часто приходили к нему в ярких снах. Эти наблюдения отразили потрясающую красоту и явную возможность абстрактного мира чистой математики. В последние годы мы начали видеть прорывы ИИ в областях, связанных с глубокой человеческой интуицией, а в последнее время и в некоторых из самых сложных проблем науки, однако до сих пор новейшие методы ИИ не помогли добиться значительных результатов в чисто математических исследованиях. .
В рамках миссии DeepMind по решению проблем интеллекта мы исследовали потенциал машинного обучения (МО) для распознавания математических структур и закономерностей и помощи математикам в поисках открытий, которые иначе они, возможно, никогда бы не открыли, впервые продемонстрировав, что ИИ может помочь в решении проблем интеллекта. авангарде чистой математики.
В нашей исследовательской статье, опубликованной сегодня в журнале Nature, подробно описывается наше сотрудничество с ведущими математиками с целью применения ИИ для открытия новых идей в двух областях чистой математики: топологии и теории представлений. Совместно с профессором Джорди Уильямсоном из Сиднейского университета мы открыли новую формулу гипотезы о перестановках, которая оставалась нерешенной на протяжении десятилетий. Вместе с профессором Марком Лакенби и профессором Андрашем Юхасом из Оксфордского университета мы обнаружили неожиданную связь между различными областями математики, изучая структуру узлов. По словам ведущих математиков, рецензировавших эту работу, это первые значительные математические открытия, сделанные с помощью машинного обучения. Мы также публикуем полные сопутствующие статьи по arXiv для каждого результата, которые будут отправлены в соответствующие математические журналы (статья о перестановках; статья о узлах). На основе этих примеров мы предлагаем модель того, как другие математики могут использовать эти инструменты для достижения новых результатов.
Узел — один из фундаментальных объектов низкоразмерной топологии. Это скрученная петля, встроенная в трехмерное пространство.
Перестановка — это перестановка упорядоченного списка объектов. Перестановка «32415» помещает 1-й элемент на 3-е место, 2-й элемент на 2-е место и так далее.
Двумя фундаментальными объектами, которые мы исследовали, были узлы и перестановки.
На протяжении многих лет компьютеры использовались математиками для генерации данных, помогающих в поиске закономерностей. Этот вид исследований, известный как экспериментальная математика, привел к появлению широко известных гипотез, таких как гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера — одна из шести задач премии тысячелетия, наиболее известных открытых задач в математике (с призом в 1 миллион долларов США). прилагается к каждому). Хотя этот подход оказался успешным и довольно распространен, выявление и обнаружение закономерностей на основе этих данных по-прежнему полагается в основном на математиков.
Поиск закономерностей стал еще более важным в чистой математике, поскольку теперь можно генерировать больше данных, чем любой математик может разумно ожидать изучить за всю жизнь. Некоторые объекты, представляющие интерес, например объекты с тысячами измерений, также могут быть слишком непостижимыми, чтобы о них можно было рассуждать напрямую. Учитывая эти ограничения, мы полагали, что ИИ сможет расширить знания математиков совершенно новыми способами.
Такое ощущение, будто Галилей взял в руки телескоп и получил возможность заглянуть глубоко во вселенную данных и увидеть вещи, которые раньше не были обнаружены.
Маркус Дю Сотой, профессор Симони по общественному пониманию науки и профессор математики Оксфордского университета
Наши результаты показывают, что ML может дополнять математические исследования, помогая интуитивно понять проблему, обнаруживая существование предполагаемых закономерностей с помощью контролируемого обучения и давая представление об этих закономерностях с помощью методов атрибуции машинного обучения:
Вместе с профессором Уильямсоном мы использовали ИИ, чтобы помочь найти новый подход к давней гипотезе в теории представлений. Вопреки прогрессу, достигнутому на протяжении почти 40 лет, гипотеза комбинаторной инвариантности утверждает, что между определенными ориентированными графами и полиномами должна существовать связь. Используя методы ML, мы смогли обрести уверенность в том, что такая связь действительно существует, и определить, что она может быть связана со структурами, известными как нарушенные двугранные интервалы и экстремальные отражения. Обладая этими знаниями, профессор Уильямсон смог предложить удивительный и красивый алгоритм, который разрешил бы гипотезу комбинаторной инвариантности. Мы вычислительно проверили новый алгоритм на более чем 3 миллионах примеров.
Вместе с профессором Лакенби и профессором Юхасом мы исследовали узлы — один из фундаментальных объектов изучения топологии. Узлы не только рассказывают нам о том, как можно запутать веревку, но также имеют удивительную связь с квантовой теорией поля и неевклидовой геометрией. Алгебра, геометрия и квантовая теория имеют уникальные точки зрения на эти объекты, и давняя загадка заключается в том, как связаны между собой эти различные ветви: например, что геометрия узла говорит нам об алгебре? Мы обучили модель ML обнаруживать такую закономерность, и, что удивительно, это обнаружило, что определенная алгебраическая величина — сигнатура — была напрямую связана с геометрией узла, которая ранее не была известна и не предполагалась существующей теорией. Используя методы атрибуции машинного обучения, мы помогли профессору Лакенби открыть новую величину, которую мы называем естественным наклоном, которая намекает на важный аспект структуры, который до сих пор упускался из виду. Вместе мы смогли доказать точную природу этой взаимосвязи, установив некоторые из первых связей между этими различными областями математики.
Мы исследовали, может ли ML пролить свет на отношения между различными математическими объектами. Здесь показаны два «интервала Брюа» и связанные с ними «полиномы Каждана-Люстига» — два фундаментальных объекта теории представлений. Интервал Брюа — это диаграмма, которая представляет все различные способы изменения порядка набора объектов, меняя местами только два из них за раз. Полиномы KL рассказывают математикам нечто глубокое и тонкое о различных способах существования этого графа в многомерном пространстве. Интересная структура начинает проявляться только тогда, когда интервалы Брюа имеют 100 или 1000 вершин.
Наши модели подчеркивают ранее не обнаруженную структуру, которая привела нас к новым удивительным математическим результатам. Здесь показана поразительная взаимосвязь между геометрией и характером узла. Геометрия узла связана с его формой (например, объемом) при измерении каноническим способом. Сигнатура — это алгебраический инвариант, который можно вычислить, наблюдая за тем, как узел перекрещивается и закручивается.
Использование методов обучения и систем искусственного интеллекта открывает большие перспективы для выявления и открытия закономерностей в математике. Даже если некоторые виды шаблонов по-прежнему ускользают от современного машинного обучения, мы надеемся, что наша статья в журнале Nature сможет вдохновить других исследователей рассмотреть потенциал ИИ как полезного инструмента в чистой математике. Чтобы повторить результаты, любой может получить доступ к нашим интерактивным блокнотам. Размышляя о невероятном уме Рамануджана, Джордж Фредерик Джеймс Темпл писал: «Великие достижения в математике были достигнуты не логикой, а творческим воображением». Работая с математиками, мы с нетерпением ждем возможности увидеть, как ИИ может еще больше поднять красоту человеческой интуиции на новый уровень творчества.