Киригами выводит всплывающие книги на совершенно новый уровень. Японское бумажное ремесло предполагает вырезание узоров на бумаге, чтобы превратить двухмерный лист в замысловатую трехмерную структуру при частичном складывании. В руках художника киригами может создавать удивительно подробные и тонкие копии структур в природе, архитектуре и т.д.
Ученые и инженеры также черпали вдохновение в киригами, применяя принципы вырезания из бумаги для создания роботизированных захватов, растягивающейся электроники, листов для сбора воды и других изменяющих форму материалов и устройств. По большей части, такие изобретения являются продуктом “с нуля”. До сих пор не существовало чертежа, по которому инженеры могли бы определить схему разрезов, позволяющих преобразовать материал из одной желаемой формы в другую – то есть до сих пор.
Новое исследование в Nature Computational Science представляет общую вычислительную стратегию, которая может решить любую двумерную трансформацию, вдохновленную киригами. Метод может быть использован для определения угла и длины разрезов, которые необходимо сделать, чтобы лист мог трансформироваться из одной желаемой формы в другую, когда его раздвигают и сдвигают обратно, подобно сложной, расширяющейся решетке.
С помощью нового метода исследователи разработали и изготовили ряд трансформируемых двухмерных структур киригами, включая круг, который превращается в квадрат, и треугольник, который превращается в сердце.
“Люди говорили о квадрате и круге как об одной из невозможных проблем в математике: Вы не можете превратить одно в другое”, – говорит Гэри Чой, постдок и преподаватель прикладной математики в Массачусетском технологическом институте. “Но с помощью киригами мы можем превратить квадрат в круг”.
Для инженеров новый метод может быть использован для решения различных конструкторских задач, например, как сконструировать робота, способного превращаться из одной формы в другую для выполнения определенной задачи или навигации в определенном пространстве. Также существует потенциал для разработки активных материалов, например, в качестве “умных” покрытий для зданий и домов.
“Одно из первых применений, о котором мы подумали, – это фасады зданий”, – говорит Кейтлин Беккер, доцент кафедры машиностроения Массачусетского технологического института. “Это может помочь нам сделать большие, похожие на киригами фасады, которые могут менять свою форму, чтобы контролировать солнечный свет, ультрафиолетовое излучение и быть адаптивными к окружающей среде”.
Беккер и Чой являются соавторами нового исследования, наряду с Леви Дудте, исследователем количественных показателей в компании Optiver, и Л. Махадеваном, профессором Гарвардского университета.
Пространство между
Исследование выросло из предыдущей работы команды в области киригами и оригами – японского искусства складывания бумаги.
“Мы обнаружили, что в киригами и оригами есть много математических связей”, – говорит Чой. “Поэтому мы хотели придумать математическую формулировку, которая поможет людям создавать большое разнообразие узоров”.
В 2019 году команда разработала оптимизационный подход для киригами, чтобы найти схему разрезов, необходимых для превращения одной фигуры в другую. Но Чой говорит, что подход был слишком вычислительно интенсивным, и требовалось большое количество времени, чтобы вывести оптимальный узор для достижения конкретной трансформации.
В 2021 году исследователи взялись за решение аналогичной задачи в оригами и обнаружили, что благодаря несколько иному подходу им удалось вывести более эффективную стратегию. Вместо того чтобы планировать узор из отдельных складок (подобно отдельным разрезам киригами), команда сосредоточилась на выращивании узора из простого сложенного семени. Работая панель за панелью и устанавливая взаимосвязи между панелями, например, как одна панель будет двигаться, если сложить соседнюю панель, они смогли вывести относительно эффективный алгоритм для планирования дизайна любой структуры оригами.
Команда задалась вопросом, можно ли применить аналогичный подход к киригами. В традиционном киригами после того, как на листе бумаги сделаны надрезы, лист можно частично сложить так, чтобы образовавшиеся пустые пространства создали трехмерную структуру. Как и панели между сгибами оригами, могут ли пустые пространства между разрезами и их соотношение друг с другом дать более эффективную формулу для дизайна киригами? Этот вопрос послужил мотивом для нового исследования команды.
Математические ссылки
Исследование посвящено двумерным трансформациям киригами. Исследователи рассмотрели общий дизайн киригами, состоящий из мозаики взаимосвязанных четырехугольных плиток, каждая из которых обрезана под различными углами и размерами. Концептуальная мозаика начинается как одна форма, ее можно раздвинуть и снова сдвинуть вместе, чтобы сформировать совершенно новую форму. Задача состояла в том, чтобы описать, как одна форма может превратиться в другую, основываясь на пустых пространствах между плитками и на том, как эти пространства меняются, когда плитки раздвигаются и сдвигаются вместе.
“Если сами плитки твердые и неизменные, то пустые пространства между ними – это возможность для движения”, – говорит Беккер.
Сначала команда рассмотрела простейшее представление пустого пространства в виде ромба, или, как они его называют, “четырехлучевой связи”. Каждая сторона ромба представляет собой полосу или край цельной плитки. Каждый угол ромба представляет собой перемычку, или шарнир, соединяющий плитки. Изменяя длину и угол наклона граней ромба, команда смогла изучить, как меняется пустое пространство между ними.
Изучая все более крупные сборки из четырех брусков, команда выявила взаимосвязь между углом и длиной брусков, формой отдельных пустых пространств и формой всей сборки. Они вывели общую формулу этих взаимосвязей и обнаружили, что она позволяет эффективно определить схему разрезов, включая их угол и длину, которые необходимы для преобразования двухмерного листа из одной желаемой формы в другую.
“Без такого инструмента я мог бы решить эту задачу грубой силой в Matlab или угадать и проверить, но мне потребовалось бы очень много времени, чтобы получить что-то, способное преобразовать круг в квадрат”, – говорит Беккер.
При моделировании команда обнаружила, что формула действительно может найти узор из плиток, который превратит мозаику в форме круга в квадрат, а также практически любую форму в любую другую желаемую форму.
Идя дальше, команда разработала два метода изготовления, чтобы физически реализовать дизайн формулы. Они быстро поняли, что главная проблема в создании трансформируемой мозаики заключалась в поиске подходящего материала, который служил бы в качестве соединительных шарниров для плиток. Соединения должны быть прочными, но при этом легко гнущимися.
Я подумал: “Что может быть очень прочным на растяжение и устойчивым к разрывам, но при этом иметь нулевой радиус изгиба, почти как точечный шарнир?”. говорит Беккер. “И ответ, как оказалось, это ткань”.
Команда использовала два метода – 3D-печать и литье в форму – для встраивания небольших полосок ткани в четырехугольные пластиковые плитки таким образом, чтобы тесно соединить плитки, позволяя им при этом изгибаться друг относительно друга. Используя эти два метода, команда создала мозаики в форме круга, которые превращались в квадраты, а также простые треугольные мозаики, которые превращались в более сложные формы сердца.
“В принципе, мы можем получить любую двухмерную форму”, – говорит Чой. “Это гарантировано, используя нашу математическую формулировку. Теперь мы хотим распространить это на трехмерные киригами”.